QUANTO E QUANT'ALTRO: Sequenza di Fibonacci & la musica...

Dal momento che i rapporti musicali sono presenti in tutta la natura, sarebbe sorprendente se la sequenza di Fibonacci, che è talvolta chiamato "l'impronta digitale di Dio", non poteva essere trovato nella scala musicale.
È, in molti modi, come può essere illustrato sulla tastiera del pianoforte.

Fra le molte nuove voci inserite nell'ultima edizione (1996) dell'Enciclopedia della Musica Garzanti, cerchiamo e troviamo (p. 817!) il termine «sezione aurea». Estrapoliamo un passo dall'esposizione:

« L'indagine sulla s.a. costituisce una branca fortemente sperimentale dell'analisi, nella maggior parte dei casi posta quasi esclusivamente in relazione alla sfera formale della musica [...] ».

Fortemente sperimentali o meno che siano, è bene sottolineare che i primi studi sull'applicazione della S.A. alle strutture formali della musica, risalgono ormai alla metà del XX secolo. È infatti proprio del 1950 un articolo di J. H. Douglas Webster (in Music&Letters) che, citando un gran numero di partiture nelle quali possono essere riscontrate «proporzioni auree», apre ufficialmente la strada a quest'affascinante settore dell'analisi musicologica.²

Ma il primo vero specialista in materia è stato certamente il musicologo ungherese Ernö Lendvai, i cui famosi studi sulla S.A. nelle strutture musicali bartókiane, hanno il merito, grazie anche alle numerose pubblicazioni e traduzioni in cui ci sono stati consegnati (dal 1955 in poi), di aver ampiamente diffuso la conoscenza di una disciplina che fino ai primi anni settanta risultava ancora appannaggio di pochi iniziati.³

Tra il 1977 e 1986, Roy Howat — altro musicologo il cui lavoro di ricerca rimarrà fondamentale per il proseguo degli studi in questo campo —, scandaglierà più approfonditamente la materia soffermandosi in particolare sull'opera compositiva di Debussy (Howat 1983a); e tentando, inoltre, una revisione delle analisi lendvaiane (Howat 1983b), revisione, che susciterà la prevedibile e puntuale replica del “maestro” (Lendvai 1984).⁴

Queste ad oggi, a parer nostro, le tre tappe principali della ricerca musicologica sulla S.A.. Ma va da sé che la mole di studi matematico-proporzionali effettuati in campo musicale nel corso della seconda metà del XX secolo, sia oltremodo notevole.⁵ Ed è anche chiaro che, in mancanza di tante e precise indagini, oggi, con tutta probabilità, ci risulterebbe assai difficile immaginare che i compositori, dal canto loro, avessero già affrontato e studiato il problema relativo alle «proporzioni matematiche» (in particolare l'applicazione della S.A. alle strutture architettonico-formali della musica) fin dal Medio Evo. Inoltre, a riprova del fatto che un'aura esoterica avvolge da sempre la presenza della S.A. nei più disparati campi del sapere umano, volentieri ricordiamo che, nonostante la trattatistica medievale in materia di proporzioni e musica sia cospicua, in nessuno dei testi pervenutici si fa cenno all'aspetto complessivo architettonico-proporzionale insito nelle strutture formali di una composizione.⁶

Ma alla luce delle molte analisi di cui sopra, è ormai più che certo che personaggi come Machaut e Dufay — solo per citare due fra i casi oggi più noti tra gli studiosi — conoscessero assai bene le proprietà della S.A. e tutta la sua “mirabile potenza”.⁷

Sarà però all'interno delle strutture della musica composta nel secolo appena conclusosi che la S.A. troverà terreno fertilissimo propagandosi a dismisura: Debussy, Stravinsky, Bartók, Xenakis, Stockhausen, Nono, Ligeti, Manzoni, Gubajdulina; e l'elenco potrebbe continuare ed occupare un'intera pagina;⁸ ma qui ci limiteremo ai casi più conosciuti, e a quelli in cui la presenza della S.A. è chiaramente frutto della volontà del compositore, e non imputabile a semplici coincidenze numeriche o formulazioni inconsce dovute alla sensibilità individuale dell'artista nei confronti delle «proporzioni auree».

Sussiste infatti questo non indifferente problema, relativo, appunto, alla comprovabile ed effettiva presenza di un cosciente “progetto aureo”, rilevabile, in sede analitico-musicologica, in nuce al processo generativo-creativo di una struttura musicale. Problema riconducibile al fatto che le proporzioni di S.A. sono di frequentissimo riscontro in natura, e perciò (sensibilità individuale permettendo), in un certo qual modo, direttamente congenite ed istintive per ognuno di noi.

Per questo motivo, stabilire se «strutture proporzionali auree» siano effettivamente dovute a progetti razionali volti alla realizzazione mirata di tali obiettivi, o siano semplice coincidenze, oppure il risultato di uno straordinario e ancestrale senso della forma, può essere, a volte, impresa molto ardua.

Ma fortunatamente per noi (che ci apprestiamo ad analizzare i fatti), la gestione dei parametri relativi allo scorrere del «tempo musicale» (questo l'ambito che qui esamineremo in particolare), posti in relazione alle «proporzioni temporali» di un opera, comporta spesso, in fase creativo-compositiva, una serie di problemi e complicazioni logistiche di non facile risoluzione e il cui superamento, specie ad alti livelli di complessità costruttiva, può avvenire solo ed esclusivamente mediante un consapevole e sapiente progetto architettonico delle strutture formali. Progetto, che lascerà pur sempre, anche nel più enigmatico e misterioso dei casi, qualche traccia del processo cognitivo matematico-intellettuale ivi presente.

Entriamo ora nei dettagli tecnici, evitando il più possibile una vera e propria trattazione geometrico-matematica che ci allontanerebbe dai risvolti simbolico-numerologici ed estetico-artistici che intendiamo affrontare principalmente.⁹

Per prima cosa diremo che per S.A. s'intende una porzione di una grandezza corrispondente a poco meno dei due terzi del suo totale (ca. 5/8 o 13/8);¹⁰ più precisamente, se dividiamo un segmento ‘AB’ in un punto ‘C’ in modo che:

AB : AC = AC : BC,

la porzione ‘AC’ verrà denominata S.A. di ‘AB’.

Quindi, se poniamo ‘AB’ come ‘a’ e ‘AC’ come ‘x’, avremo:

a : x = x : (a - x);

da cui:

a(a - x) = x²,

x² - a(a - x) = 0.

E qui mi fermo, anche perché Euclide, primo a trattare in modo esplicito di S.A. (Elementi, libro II, propos. 11^a), c'invita a risolvere il seguente problema:

«Dividere una retta data in modo che il rettangolo compreso da tutta la retta e da una delle parti sia uguale al quadrato della parte rimanente».¹¹

Proposizione elegante ed affascinate, ma che per il suo aspetto prettamente geometrico potrebbe forse risultare di non semplice — o comunque non d'immediata comprensione — a tutti coloro che non hanno fatto, contemporaneamente alla musica, anche della matematica e della geometria il proprio pane quotidiano.

Ma il nostro Euclide — un po' più avanti nel suo trattato — esporrà poi la famosa «definizione III^a», la cui formula d'apertura, per i molti secoli a venire, verrà adottata da tutti gli studiosi come la più autentica espressione del concetto di S.A. (Elementi, libro VI, defin. 3^a):

«Si dice che una retta risulta divisa in estrema e media ragione, quando tutta quanta la retta sta alla parte maggiore di essa come la parte maggiore sta a quella minore».¹²

Definizione, questa, che inevitabilmente però ci riconduce alla proporzione « AB : AC = AC : BC » da noi esemplificata sopra.

A toglierci dall'imbarazzo della “definizione” sarà il matematico italiano Leonardo Fibonacci (Leonardo Pisano)¹³ che, dopo aver “navigato” in lungo e in largo nella cultura arabo-matematica, nel 1202 ci consegnerà il suo famoso trattato intitolato Liber Abbaci. Lì, fra le altre migliaia di cose riportate, in un breve capitoletto e tramite un simpatico quanto efficace “quesito” (“proposizione” se volete) sulla prolificità dei conigli (letteralmente « Quot Paria Coniculorum In Uno Anno Ex Uno Pario Germinentur »)¹⁴ il Fibonacci esporrà, senza peraltro rivelarci espressamente alcunché, una “magica” quanto antica serie numerica che solo in tempi più recenti prenderà poi il suo nome.¹⁵

Questi i primi tredici termini della futura e denominata «Serie di Fibonacci», che compaiono nel Liber Abbaci (Fibonacci 1857:284) in relazione a quell'ipotetico e “curioso” numero progressivo di coppie di conigli procreate nel corso di un anno (Quot paria...):

1.2.3.5.8.13.21.34.55.89.144.233.377.¹⁶

Questa serie matematica ricorrente possiede numerose ed interessanti proprietà. Citeremo: 1) la più evidente, cioè che ogni numero è la somma dei due precedenti; 2) la più straordinaria (al caso nostro), ossia che tre numeri consecutivi estrapolati in un punto qualsiasi della successione (fatta eccezione per i primissimi termini) sono, grazie ad una straordinaria approssimazione, eccellenti valori numerici per la realizzazione di segmenti in proporzione aurea.

Applicando ad esempio i valori fibonacciani « 55.89.144 » alla proporzione “euclidea” precedentemente esposta (« AB : AC = AC : BC » dove AB sarà «144» e AC sarà «89») avremo una visione lampante del concetto matematico di S.A.:

144 : 89 = 89 : 55

per cui la S.A. di 144 (AB) sarà 89 (AC).

Succede però che la relazione:

a(a - x) = x²

non viene soddisfatta; questo perché:

144(144-89) ¹ 89²;

infatti:

89² - 144(144 - 89) = 1.

Quale sia la «sequenza aurea» fibonacciana utilizzata, il risultato sarà sempre identico: ±1 (regolarmente alterni di pari passo al procedere di grado delle triadi auree estrapolate dalla serie) invece di ‘0’. Il fatto si spiega facilmente, poiché i numeri di Fibonacci sono numeri interi e quindi, come accennato, lievemente approssimati rispetto all'effettivo valore di S.A. di un segmento, quest'ultimo, al contrario, sempre espresso da un irrazionale.

Per conoscere l'esatto valore della S.A. di 144 (a) è sufficiente moltiplicare il nostro numero per 0,618..., coefficiente, questo (Le Nombre d'Or), ottenuto dalla formula di seguito esposta e a sua volta derivata dall'equazione iniziale di cui sopra:

(Ö5-1)/2 = 0.6180339...,

per cui:

x = a (Ö5-1)/2.

La nostra ‘x’ sarà quindi corrispondente a 88,99... .¹⁷

Ora, tornando alla musica, a qualsiasi unità di misura tale risultato si riferisca (durate temporali, numero di battute, quantità di note, etc.) si comprende facilmente che ai fini “artistici” la differenza è assolutamente irrilevante; ed è bene ribadire che il nostro occhio (arti visive), ed anche il nostro orecchio (musica), possono essere soddisfatti da valori assai più lontani da quelli matematicamente esatti riportati sopra, compresi i numeri di Fibonacci, che già incorporano un livello di approssimazione tanto eccellente da risultare praticamente inavvertibile alle nostre comuni capacità di discriminazione sensoriali.¹⁸

La serie di Fibonacci ci appare pertanto come uno straordinario archivio di «sequenze auree», non a caso utilizzate in svariati modi — alcuni dei quali estremamente creativi ed ingegnosi — da quasi tutti i compositori che abbiano sviluppato un qualche interesse per le virtù della S.A..

Ora, se dal punto di vista pratico l'applicazione di proporzioni auree nelle arti visive (pittura e architettura ad esempio) può essere facilmente intuito (ovvero una suddivisione più o meno elaborata dello spazio in porzioni auree)¹⁹ in campo musicale — causa non indifferente il fattore «tempo» — la faccenda risulta assai più complessa.

Per fare un primo semplice esempio, immaginiamo l'ascolto di un brano musicale composto da 144 battute in 4/4, e che all'attacco della mis. 90 sia contraddistinto da un evento timbrico, dinamico o formale di notevole rilievo, o comunque tale, da farci percepire nettamente la transizione dal primo segmento di 89 btt. al successivo di 55. In teoria, in fase di ascolto, dovrebbe aver luogo una percezione auditiva delle due sezioni del brano in proporzione aurea; a patto però, che la scansione metronomica del «tempo musicale» sia sufficientemente regolare, metronomicamente costante cioè, così da garantire una corrispondenza fra lo scorrere del «tempo cronometrico» e il numero di battute del brano. Sarebbe infatti sufficiente una diminuzione agogica a metà dell'esecuzione, per rendere nullo l'effetto di S.A. fra i due “segmenti”; le cui proporzioni, nel caso della nostra elementare esemplificazione, dipendono esclusivamente dalla sequenza e durata numerico-temporale delle battute.

Un secondo esempio, molto più elaborato, lo preleviamo direttamente da una delle partiture più studiate e discusse in materia di “analisi aurea”.

Si tratta della sezione «A-B», del terzo tempo della Musica per strumenti a corda, percussione e celesta (d'ora in poi Musik) di Béla Bartók.

Il frammento consta di 15 misure in 4/4, e sono presenti due indicazioni metronomiche diverse: MM. ca. 56 per semiminima per il primo segmento di 11 mis. e MM. ca. 46 per semiminima per le rimanenti 4. Consideriamo ora la durata totale del frammento in 60/4 (15×4), dove i primi 14/4 sono occupati da un episodio introduttivo, i successivi 30/4 da una esposizione tematica e i rimanenti 16/4 da un episodio risolutivo di transizione che collega il tema precedente al seguito della composizione. Calcolando ora, mediante estrapolazione matematica, le durate in minuti secondi dei singoli frammenti e considerando, inoltre, il «rallentando» tra il passaggio da una all'altra indicazione metronomica avremo, rispettivamente, circa 15'' + 34'' + 21''.

Benché l'esempio di primo acchito possa apparire un poco capzioso, credo sia comunque straordinariamente illuminante, in quanto dovrebbe bene evidenziare l'importanza basilare delle indicazioni agogiche e metronomiche ai fini di un'effettiva determinazione di «proporzioni temporali» prestabilite (“auree” nel nostro caso poiché « 13.21.34 » sono numeri di Fibonacci!) all'interno di strutture musicali.

Quanto alla capziosità, siamo coscienti che potrebbe anche trattarsi di pura e semplice coincidenza (“faziosità” se volete, per intenderci, un po' come capita in ambito numerologico quando si rimescolano le misure della Grande Piramide di Cheope). Ma va da sé, che corrispondenze numeriche di questo genere — che si presentano con una certa qual piacevole e “curiosa” insistenza nell'opera bartókiana citata — potrebbero forse celare qualche ulteriore particolare matematico-simbolico (leggi “istruzioni per l'uso”) forse non ancora completamente evidenziato nonostante, nel corso degli ultimi cinquant'anni, il brano sia stato sottoposto a numerose e dettagliate analisi.

A tal riguardo, è interessante notare cosa diceva una dozzina di anni addietro la compositrice Sofia Gubajdulina (1991:29):

«[...] l'aspetto ritmico della musica di Bartók mi interessa moltissimo, al punto che vorrei studiare a fondo la sua applicazione della Sezione Aurea ».

Sarebbe assai interessante conoscere su quali particolari aspetti ritmico-proporzionali della musica di Bartók si volesse soffermare il genio creativo della compositrice russa, anche perché, già gli splendidi esiti di Stimmen... Verstummen... (1986) ci facevano auditivamente percepire gli enormi progressi compiuti dalla musica contemporanea (secondo Novecento) in materia di «proporzioni auree» e strutture «spazio-temporali».

***

Ma val la pena darsi tanto da fare per costruire strutture formali di questo genere?

Sul fascino esercitato dalle «proporzioni auree» sulla percezione visiva si è indagato, non poco, tra la fine dell'Ottocento e i primi decenni del XX secolo.

Al tempo, alcuni studiosi rilevarono che l'occhio umano trae un innato piacere per qualsiasi forma rispetti, anche se in modo approssimativo, le proporzioni di S.A..

Sarebbe infatti sufficiente un «rettangolo aureo» (ad es. 233×144, per rimanere su misure fibonacciane) per attrarre il nostro sguardo su di esso e prediligerlo rispetto ad altri di misure assortite.²⁰

Sembrerebbe peraltro che parte della stessa struttura geometrica dell'occhio umano sia riconducibile alle proporzioni di S.A. (cfr. ad es. Montù 1973).

Ma ancor più interessante, sempre al caso nostro, ricordare che parte della struttura interna dell'orecchio (coclea), sia sostanzialmente riconducibile ad una spirale logaritmica: curva matematica questa, il cui grado di perfezione geometrico dipende esclusivamente dalle «proporzioni auree» che regolano lo sviluppo delle sue volute.

Ora, benché tutto ciò ci possa apparire come molto fantasioso e improbabile, potrebbe forse però aiutarci ad accettare con più facilità l'ipotesi che anche la percezione acustica di «segmenti temporali aurei» risulti particolarmente gradita al nostro orecchio. Prendiamo quindi la faccenda della “coclea” come una metafora, anche perché qui non credo sia opportuno tentare di approfondire l'argomento, per ragioni di spazio ovviamente, ma non solo.²¹

Per cui, svicolando problemi e “misteri” relativi alla psicoanalisi della percezione visiva e acustica, tentiamo, per quanto possibile, di districarci tra la selva di simbologie varie che frequentemente celano e al contempo rivelano, l'utilizzo della S.A. in campo artistico e letterario.²²

Abbiamo detto della spirale logaritmica. E il nostro pensiero va immediatamente a On Growth and Form di D'Arcy Wentworth Thompson (1917) e, prima ancora, a On the Geometrical Forms of Turbinated and Discoid Shells del Rev. H. Moseley (1838); ma anche alla scrivania di Bartók (Lendvai 1971:29) e a Le Corbusier (Urbanisme 1924). Infine — scorrendo molti altri studi sull'argomento (cfr. bibl.) — potremmo giungere alle analisi musicologiche, ossia ai già citati Lendvai (1971:30-34) e Howat.

Quest'ultimo, in particolare (cfr. ad es. Howat 1983a), ha sistematicamente utilizzato la spirale logaritmica per evidenziare graficamente le «strutture proporzionali auree» di alcune composizioni di Debussy: La Mer ad esempio (tanto per rimanere in tema!) cosicché, qualche tempo dopo (1988), la Revue Analyse Musicale, dedicando un numero monografico a Debussy, non si lascia sfuggire l'occasione per mettere in copertina l'immagine di una conchiglia spiraliforme.

E dal “simbolismo” «esoterico-impressionistico» potremmo giungere a quello «cosmico-alchemico»: ossia a Stockhausen, o in altre parole, al fatto che sulla copertina del catalogo della Stockhausen-Verlag, campeggia una spirale logaritmica lungo le cui volute sono elencate le opere del compositore tedesco, da Chöre für Doris a Mittwoch aus Licht. O per “tacere” di un altro fatto: e cioè che fra tutti gli allievi del compositore alchimista — effettivi (Eötvös e Grisay per fare due nomi non a caso) o d'adozione (come ha più volte sostenuto d'esserlo Sciarrino) — ben pochi sono sfuggiti al fascino del “vortice aureo”.

Ora, se nel proseguo di questo discorso ormai inevitabilmente intriso di aspetti «magico-esoterici», rammentassimo pure l'esistenza di due figure geometriche come «pentagono» e «stella a cinque punte», ci inoltreremmo in un tale ammasso di simbologie mistico-filosofico-matematiche che nessuno studioso riuscirà mai a sondare in modo esaustivo.

Ho accennato alla stella a cinque punte (figura geometrica costruita unendo le diagonali di un pentagono regolare ma anche, per alcuni di noi, inconsciamente riprodotta nell'atto di apporre con penna un asterisco su un foglio, senza poi dimenticare la sua frequente presenza in Natura); quindi forse val la pena ricordare che le cinque rette che la compongono si intersecano fra loro dando origine a segmenti in «proporzioni auree». E se la serie di Fibonacci ci regalava valori approssimati, qui abbiamo a che fare con segmenti la cui precisione assoluta è espressa da valori irrazionali, il che, agli occhi degli antichi, dovette apparire come qualcosa di sbalorditivo ed inesplicabile.

Non a caso i pitagorici attribuirono a questa figura geometrica, «pentalfa», particolari proprietà magiche e con buona probabilità, fu per motivi d'imperscrutabilità e potenza incantatoria delle proporzioni lì e altrove “divinamente” presenti, che le conoscenze relative alla S.A. furono, fin dai tempi più remoti, severamente e gelosamente custodite nell'ambito delle «dottrine esoteriche» (o «dottrine non scritte» se preferite quest'altra espressione).

Ma, a proposito di pitagorismo, nel 1958, sulla rivista Sophia, appare uno degli ultimi e straordinari contributi lasciatici da Vincenzo Capparelli. Trattasi (parlo del lavoro) di uno studio storico sulla S.A. (peraltro di fattura assai notevole per un ricercatore italiano dell'epoca!) che ne ripercorre le vicende dall'antichità fino al 1951. Anno da ricordare il 1951, poiché alla Triennale di Milano si tenne il primo Congresso Internazionale di studi sulle Proporzioni nelle Arti.

E qui aprirei una “finestra” (in senso formale sciarriniano).

Non abbiamo idea di quanta risonanza il congresso ebbe in campo artistico e in particolare nel mondo musicale, ma le date parlano chiaro (come dicevamo precedentemente, fu il secondo Novecento a invaghirsi, in modo particolare, della S.A.) e forse varrebbe la pena di approfondire la questione. Comunque, in concomitanza al congresso — a cui peraltro parteciparono tutti i maggiori esperti del tempo (Ghyka e Le Corbusier in primis) — la Triennale allestì anche una bella mostra bibliografica sull'argomento (cfr. Marzoli / Gnecchi Ruscone 1951).²³ Assai interessante notare che nei settori della mostra riservati alla musica, oltre alle immancabili opere di Boezio, Gaffurio, Zarlino, etc. (vetrina 21; cfr. op. cit. p. 129), venivano esposte (vetrina 31; id. p. 134) partiture di Schoenberg (Pierrot Lunaire, op. 21), Webern (Passacaglia), Berg (Lulu), Dalla Piccola (Il Prigioniero), R. Malipiero (Sinfonia).²⁴

Chiusa la “finestra”. Riprendiamo il discorso.

Il Capparelli (cfr. 1958:208) attira la nostra attenzione sottolineando il fatto che, tanto nel Timeo di Platone, quanto nel De Architectura di Vitruvio, non si parla di S.A.:

« [...] certo fa meraviglia che Platone non faccia cenno nel “Timeo” di un tale importante, e a dir così, cosmico dato geometrico ».

In verità ci sarebbe un passo del Timeo che molti studiosi spesso citano come chiara esplicitazione del concetto di S.A.. Ma, guarda caso, il passo ben si adatta anche al più semplice concetto (e assai meno esoterico) di «proporzione geometrica»:

« Ma che due cose si compongano bene da sole, prescindendo da una terza, in maniera bella, non è possibile. Infatti, deve esserci in mezzo un legame che congiunga l'una con l'altra. E il più bello dei legami è quello che di se stesso e delle cose legate fa una cosa sola in grado supremo. E questo per sua natura nel modo più bello compie la proporzione [...] ».²⁵

Effettivamente, però, in un certo qual modo, un'aura di S.A. avvolge gran parte del Timeo; e l'apice, a parer nostro (tesi sostenuta anche da altri), si tocca quando al momento di illustrare la struttura del “quinto solido” — il «dodecaedro» (12 facce pentagonali!) — Platone, dopo essersi prodigato in una dettagliatissima dissertazione sulla genesi geometrico-strutturale degli altri quattro solidi regolari, chiude improvvisamente l'argomento liquidandoci con due righe:

« Ma essendovi ancora una quinta combinazione, il Dio si servì di essa per decorare l'universo ».²⁶

Due righe, ma del tutto sufficienti per capire che in ballo c'è qualcosa di estremamente importante dal punto di vista «estetico-filosofico» e «mistico-matematico».

Per quanto riguarda il “silenzio” di Vitruvio rimando a C. J. Moe (1945:69) e ancora al Capparelli (op. cit.):

« [...] bisognerebbe credere che Vitruvio non ne abbia trattato specificamente [della S.A.], perché le sue applicazioni facevano parte del bagaglio esoterico che si impartiva segretamente nelle corporazioni di arti e mestieri ».

***

Passa il tempo, passano i secoli, quelli di Platone, di Euclide, di Vitruvio..., ma la storia non cambia. Anzi.

Venezia 1509. Il matematico italiano Luca Pacioli fa stampare il suo trattato De Divina Proportione, portato a termine nel 1498 — con l'aiuto del suo amico Leonardo da Vinci — e redatto in tre copie manoscritte. Nell'opera confluiscono gli studi su Platone, Euclide, Campano, Fibonacci, il pensiero di Piero della Francesca, il sapere di Leon Battista Alberti, i probabili influssi della filosofia ermetica di Marsilio Ficino e Pico della Mirandola, i misteriosi contatti con Albrecht Dürer e molto altro (magia e alchimia comprese): in due parole, uno spettacolare concentrato di «divina sapienza».

Ecco la dicitura dell'intestazione originale del capolavoro del Pacioli:

DIVINA

PROPORTIONE

Opera a tutti glingegni perspi/

caci e curiosi necessaria Ove cia/

scun studioso di Philosophia:/

Prospectiva Pictura Sculptu/

ra: Architectura: Musica: e/

altre Mathematice: sua/

vissima: sottile: e ad/

mirabile doctrina/

consequira: e de/

lectarassi: cõva/

rie questione/

de secretissi/

ma scien/

tia.

Dunque il Pacioli scrive «secretissima scientia» (cfr. Capparelli 1958:210), il che non lascia più alcun dubbio sugli aspetti esoterici che potevano rivestire le trattazioni sulla S.A. nell'antichità, al tempo del Pacioli e anche oggi.

Il Pacioli, peraltro, sul frontespizio del suo trattato, pone tra le varie «Mathematice» anche «architettura e musica». E queste due «arti matematiche», nell'ambito del discorso che stiamo affrontando, non possono che rimandarci alle ben note implicazioni esoterico-numerologiche riscontrabili in numerose composizioni della polifonia vocale del Quattrocento. È sì, stiamo proprio pensando a Guillaume Dufay e all'architettura del famosissimo e studiatissimo (anche più della Musik bartókiana) mottetto: Nuper Rosarum Flores.

Salto pindarico.

Torniamo cioè all'inizio del Novecento; e più precisamente a La Cathédrale Engloutie di Claude Debussy (magie e alchimie delle cattedrali!).

L'uso della S.A. nelle opere del compositore francese è stato indagato a fondo, come più volte abbiamo sottolineato, dal musicologo e pianista inglese Roy Howat. Vale la pena però soffermarsi sul famoso preludio pianistico, perché, fra le altre cose, è uno splendido esempio di numerologia applicata alle «proporzioni auree».

Il brano consta di 89 misure organizzate su una segnatura di tempo dall'aspetto sottilmente ambiguo: 6/4 = 3/2. L'interpretazione dell'autore (conservata su rullo di pianola) risulta in contrasto con le indicazioni dell'edizione a stampa (Durand 1910), Debussy suona infatti le 68 btt. “identificabili” con la segnatura 3/2 (btt. 7÷12 e 22÷83) al doppio del tempo iniziale, da cui: 89-68=21; 68:2=34; 34+21=55. Inutile ogni commento, purché si rammentino i termini (8.13.21.34.55.89) della serie di Fibonacci. E anche se Debussy non si fosse preoccupato di lasciarci in eredità la sua illuminante incisione su rullo di pianola, sarebbe stato sufficiente dare un'occhiata al manoscritto (o leggere le lettere di Debussy o contare le battute), per notare che le dodici crome che compongono la mis. 70 si sono “trasmutate” in altrettante semicrome, mentre la barra di divisione della successiva misura s'è dissolta nel nulla: a delucidazione dell'insolita notazione c'è un appunto sulla destra del foglio che dice: « ces doubles croches sont des croches ».²⁷

Debussy è affascinato dalla S.A. e dai suoi aspetti esoterici; tanto da utilizzarla molto frequentemente nelle sue composizioni; e senza perdere l'occasione per “giocare” con i numeri o lanciare messaggi criptici: come la copertina della partitura de La Mer (Durand 1905), che per volontà del compositore porta raffigurata La grande onda presso la costa di Kanagawa di Katsushika Hokusai.²⁸

Debussy e Bartók usano deliberatamente la S.A.; e anche se per alcuni studiosi questo è un fatto ancora discutibile, è assai curioso notare come per i due (benché appaia chiaramente loro non gradito parlare esplicitamente di S.A.) la tentazione di lasciare qua e là qualche misteriosa traccia del loro operato esoterico sia quantomeno irresistibile: questo forse allo scopo di indirizzare eventuali posteriori tentativi d'interpretazione (ovvero lasciare indicazioni ermetiche per gli “adepti”) o semplicemente per una sorta di ludico piacere filosofico-numerologico e cabbalistico (il cui fine è poi sostanzialmente lo stesso).

Debussy, peraltro, inviando al suo editore Durand (agosto 1903) le bozze corrette dell' Estampes, è spudoratamente esplicito:

« Vous verrez, à la page 8 de “Jardins sous la Pluie”, qu'il manque une mesure; c'est d'ailleurs un oubli de ma part, car elle n'est pas dans le manuscrit. Pourtant, elle est nécessaire, quant au nombre; le divine nombre [...] ».²⁹

Quanto a Bartók, la “leggenda” vuole che durante un'audizione del terzo tempo della Musik si rivolgesse al violinista André Gertler confidandogli: « Lo senti? È il mare! ».³⁰

Prendendo spunto da questo aneddoto, Howat (1983b:68) sottolinea le forti analogie presenti fra le strutture proporzionali de La Mer di Debussy e quelle del brano di Bartók, soffermandosi in particolare sul Dialogue du vent et de la mer e la sezione «B-C» dell'Adagio della Musik, episodio, quello bartókiano, che Lendvai (1971:29) chiama «roaring of the wind».

Riguardo ad ulteriori ipotesi su altri ed eventuali aspetti «esoterico-numerici» insiti nella Musik di Bartók passeremo oltre per ragioni di spazio. Un appunto però lo facciamo volentieri, in merito alle disparità e incongruenze riscontrabili dal confronto fra le durate indicate in minuti e secondi sulle partiture bartókiane e quelle matematicamente deducibili dai tempi metronomici. Queste discrepanze sono presenti anche nel I e III tempo della Musik, ma non sono di rilevanza tale da generare dubbi irrisolvibili a livello interpretativo-esecutivo; comunque sia: «cinquantacinque» secondi (di durata) indica Bartók per la sezione sopra citata «il soffiare del vento», in luogo degli effettivi circa «quarantotto» dedotti dall'indicazione metronomica.³¹

Correndo ora il rischio di contagi «ermetico-esoterici» fra i più avventati, citerò alcune righe di Bruno Cerchio poste come « avvertenza » alla sua trascrizione delle 50 fughe dell' Atalanta Fugiens di Michael Maier:

« La trascrizione delle fughe dell'Atalanta pone diversi problemi. L'originale reca errori e sviste in quantità tale da far supporre non siano tutti accidentali, ma che alcuni (soprattutto le note dimenticate e gli sbagli d'intervallo che, in grazia al meccanismo canonico, possono essere facilmente corretti) conservino più reconditi significati (siano ad esempio sistemati su parole e in luoghi ove l'autore voglia attirare l'attenzione). »³²

È meno che un'ipotesi. Ma, talvolta, anche un fatto più che comprovabile e di cui, in ambito di studi esoterici, è sempre bene tener conto quando ci si trova di fronte ad un «errore».

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Tornando ora alle vicende della «divina proporzione», sembrerebbe (questa perlomeno è la tesi maggiormente sostenuta dagli esperti) che dopo gli studi del Pacioli e più avanti di Keplero, una sorta di stasi intellettuale s'instauri nei confronti della S.A. e si protragga, all'incirca, fino alla metà del XIX secolo.

Sarà il matematico francese Michel Chasles che, preannunciando una rinascita d'interessi attorno alla S.A. (cfr. Chasles 1837:512-3), diventerà famoso fra gli addetti ai mestieri (cfr. ad es. Capparelli 1958:200) e ricordato proprio grazie all'attenta analisi del fenomeno e alla sua profetica intuizione.³³ Infatti, poco tempo dopo, alcuni studiosi tedeschi riprendono le indagini sull'argomento: Adolf Zeising (1854) è il nome più illustre, ma saranno in molti altri a pubblicare libri il cui titolo è (o comunque fa riferimento a) «Der Goldene Schnitt».³⁴

Va da sé che nel corso della prima metà del XX secolo gli studi sulla S.A. si intensificheranno ulteriormente e un numero sempre crescente di interessanti saggi verrà dato alle stampe. Inizia così un processo di divulgazione esoterica intorno alla S.A. che i secoli precedenti non avevano mai conosciuto e che neppure lo stesso Chasles avrebbe potuto immaginare.

Alcuni dei principali esperti del settore rispondono ai nomi di Theodor Andrea Cook, Jay Hambidge, Gino Severini,³⁵ Matila C. Ghyka, Charles Funck-Hellet, Elisa Maillard, Le Corbusier. Quest'ultimo, in particolare, nei primi anni cinquanta pubblicherà due manuali che ben presto diventeranno famosissimi: Le Modulor (1950) e Le Modulor II (1955). In questi due testi — contrariamente a Vitruvio — il grande architetto svizzero tratta diffusamente ed esplicitamente di S.A., tanto da farne quasi un credo personale; atteggiamento, questo, che non mancherà di suscitare polemiche e contestazioni.³⁶

Rimandiamo il nostro lettore al secondo dei due volumi citati — Le Modulor II — poiché nelle ultime pagine appare uno scritto del compositore greco Iannis Xenakis, ove, seppur brevemente, il musicista-architetto (peraltro in quegli anni assistente di Le Corbusier) parla di una sua opera. La composizione è assai famosa, poiché piacque anche a Hermann Scherchen e fu data in prima esecuzione sotto la direzione di Hans Rosbaud al Festival di Donaueschingen nel 1955 (cioè l'anno di Le Modulor II), portando così all'attenzione del mondo musicale contemporaneo l'originalissimo musicista greco. Stiamo parlando di Metastaseis^B (1953-54); e ciò che qui voglio sottolineare è che Xenakis, nelle pagine del libro di Le Corbusier, “dichiara” la presenza del Modulor (ossia un sistema codificato per l'applicazione della S.A. in architettura) come base elaborativo-progettuale della struttura compositiva e formale del suo brano.³⁷

Ora, se oltre a queste testimonianze dirette ed esplicite dell'uso della S.A. da parte di Le Corbusier e Xenakis, consideriamo: 1) che nel 1954 Stockhausen scrive il Klavierstück IX (brano la cui partitura, come successivamente molte altre, è ricca di evidentissime segnature di tempo fibonacciane)³⁸; 2) che nel 1964 Krenek scrive Fibonacci Mobile; 3) che nel 1979 Manzoni scrive Modulor (chiaro “omaggio” ai due architetti precedenti); considerando, quindi, anche solo questi tre esempi, sembrerebbe che per alcuni compositori e artisti in genere,³⁹ la premura di tener in qualche modo celata la presenza della S.A. nelle strutture delle proprie opere sia in un certo senso svanita. O meglio, a volte, forse più ingegnosamente mutata nei suoi aspetti reconditi: cioè mutata nei suoi aspetti tecnico-esoterico-creativi, nell'atto di perseguire un processo evolutivo e strutturale, orientato verso una ricerca estetica alchemico-scientifica atta a stimolare una più cosciente appercezione auditiva.⁴⁰ E ciò è abbastanza comprensibile, non fosse altro per il motivo che il crescente interesse sviluppatosi nel corso della prima metà del Novecento attorno agli studi sull'applicazione della S.A. nelle arti, probabilmente “guastò” un poco l'aspetto esoterico di disciplina per iniziati che tale materia poteva forse ancora conservare nei primi decenni del secolo.⁴¹

Sarà quindi solo apprestandosi all'analisi delle strutture auree presenti nella musica contemporanea che ci troveremo di nuovo in campo esoterico riservato a pochi iniziati.

Per fare un esempio, l'evidenza grafico-numerico fibonacciana delle segnature di tempo stockhauseniane è, come dire, inversamente proporzionale alla facilità di comprensione del processo costruttivo-intellettuale che le ha generate e organizzate; e non mancano neppure gli “enigmi numerologici”: 142/8 e 87/8 sono le prime due segnature di tempo del Klavierstück IX, entrambe in difetto (-2) rispetto a F₁₂ (144) e a F₁₁ (89).⁴²

Potremmo quindi formulare un'ipotesi secondo la quale in tempi moderni l'approccio alla S.A. in campo artistico musicale sia diventato “più dichiarato”, ma al contempo, molto più sofisticato ed elaborato nelle sue applicazioni strutturali, con consequenziali esiti estetico-acustico-percettivi di straordinaria efficacia.⁴³

Per cui, possiamo ancor più tranquillamente sostenere che il « gaio fascino dell'imperscrutabilità del sapere » è ancora una volta salvo.

Non è questa comunque né una regola né, tanto meno, un atteggiamento che abbia in qualche modo soppiantato le più antiche e rigorose abitudini di osservanza del «silenzio ermetico».

Detto questo, ora dovremmo proprio tacere; come peraltro c'inviterebbe a tacere un famoso compositore italiano in un suo brano della fine degli anni settanta. Ma dato che nel sottotitolo di questo scritto si accennava al progressive, cioè al “rock progressivo” (branca della popular music sviluppatasi in Inghilterra durante la prima metà degli anni settanta), occorre prepararsi ad un secondo (e apparente) volo pindarico nel caso siate interessati a proseguire la lettura.

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Dunque, benché il noto compositore italiano del quale dicevamo poco fa, ci rimandi all'immagine mistico-esoterica di un antico dio egizio che, tramite Plutarco (De Iside et Osiride), diventa poi (causa un gesto con il quale sembrerebbe “invitarci al silenzio”)⁴⁴ simbolo e custode del sapere esoterico, noi non taceremo per quanto riguarda la musica dei Genesis: i Genesis, ossia uno dei gruppi progressive-rock più impegnati nel tentativo di dare una svolta epocale al panorama «stagnante» della popular music inglese nel corso della prima metà degli anni settanta.⁴⁵

I motivi per cui “parleremo” sono fondamentalmente due: 1) perché riteniamo che il progressive-rock meriti l'attenzione dell'analisi musicologica; 2) perché chi tira in ballo il dio egizio, o qualsiasi altro simbolo esoterico-alchemico, sa a priori, che prima o poi qualcuno, compreso l'arcano, infrangerà il silenzio.⁴⁶

Orbene, coincidenza vuole che sulla copertina dell'album più amato e commercialmente fortunato dei Genesis, Selling England By The Pound (1973),⁴⁷ appaia un elegante disegno nei cui tratti magico-onirici si può notare un personaggio chiaramente rappresentato nell'atto di «invitare al silenzio».⁴⁸ «Silenzio» che noi interpreteremo di natura filosofico-ermetica, dato che le elaborate strutture matematiche riscontrabili in alcuni brani presenti nel suddetto album, fanno capo ad architetture auree studiate (ovvero deliberatamente progettate)⁴⁹ fin nei minimi particolari.

Ma non solo. Il contenuto «esoterico-matematico» ivi presente è oltremodo sottolineato da una foltissima serie di simbologie (giochi di parole presenti nelle liriche e nei titoli dei brani e degli album, riferimenti numerologici, dipinti e disegni vari sulle copertine dei dischi di chiara ispirazione simbolico-ermetica e surrealista) che ci rimandano costantemente all'uso della S.A. e ai suoi inscindibili aspetti magico-alchemici parzialmente evidenziati nella prima parte di questo scritto.

Questi aspetti «mistico-esoterici» riscontrabili in molte composizioni dei Genesis — basti pensare all'album Foxtrot (1972) e alla lunga suite Supper's Ready — sono abbastanza noti ai fans del “mitico/mistico” gruppo inglese, ma non sono mai stati studiati e indagati come meriterebbero. Tra questi aspetti, quelli «esoterico-matematici», che qui evidenzieremo, risultano a tutt'oggi, in assoluto, i più affascinanti e del tutto sconosciuti.⁵⁰ Purtroppo in coda a questo scritto non potremo occuparci in modo particolareggiato dell'argomento, e ci limiteremo quindi a segnalare solo qualche significativo dato matematico musicale rimandando il lettore interessato, in particolare a due altri nostri piccoli interventi pubblicati sulla rivista Dusk: Italian Genesis Magazine (n. 38feb2002), in cui si è tentato di esemplificare le strutture compositive genesisiane attraverso una rappresentazione grafico-matematica di alcune partiture.

Ora, però, nell'apprestarsi ad analizzare la struttura ritmico-metrico-formale di un brano di popular music — più precisamente di progressive-rock —⁵¹ ci si trova subito a dover far fronte ad un problema non indifferente, ossia la mancanza di partiture “originali” sulle quali basare le nostre indagini. Come spesso capita anche per il jazz, non è infatti possibile reperire partiture di popular music complete di tutte le parti;⁵² ed è per questo motivo che le nostre analisi si basano esclusivamente su partiture “arbitrarie”, ossia da noi stessi «trascritte a orecchio» (annotate su pentagramma per così dire) dalla fonte audio originale (cioè Lp e/o Cd). In musicologia questo procedimento non è massimamente obiettivo e può creare qualche problema di ordine soggettivo-interpretativo; specialmente in un caso, di per sé già abbondantemente discusso, come quello relativo alle metodologie utilizzate per determinare l'effettiva presenza della S.A. nelle strutture formali di una composizione (nel caso nostro per di più di musica rock!). Ma credo non ci siano alternative, poiché le partiture (diciamo “spartiti”) di popular music oggi disponibili sul mercato, sono per lo più abbozzi molto superficiali che non rendono minimamente l'idea della sostanza musicale effettiva confluita in molta musica progressive.⁵³

Ma veniamo rapidamente al dunque. I grafici proporzionali pubblicati sulla rivista Dusk si soffermano in particolare su un brano dei Genesis del 1973: precisamente il terzo dell'album SEBTP sopra citato (brano peraltro assai famoso e uno dei più amati dai fans del gruppo inglese)⁵⁴ ed il cui titolo, apparentemente misterioso e intraducibile, alla luce del suo probabile recondito significato (cioè agli occhi di un iniziato alle simbologie “auree”) risulta già di per sé assai eloquente: Firth of Fifth.⁵⁵

L'analisi della struttura formale della composizione — benché qui solo sommariamente esposta nel sottostante prospetto — evidenzia alcuni aspetti e peculiarità assai originali:

sezione

tonalità

battute

segnatura

mm.ss.

Pf. (preludio)

Si bem. magg.

34 (54+1)

var. (su 390/16)

0:00

Voce (I parte)

Si magg.

31½

4/4

1:07

ponte mod.

4/4